1570. В трапеции ABCD
основание AD
равно 4, основание BC
равно 3, стороны AB
и CD
равны. Точки M
и N
лежат на диагонали BD
, причём точка M
расположена между точками B
и N
, а отрезки AM
и CN
перпендикулярны диагонали BD
. Найдите CN
, если \frac{BM}{DN}=\frac{2}{3}
.
Ответ. \frac{\sqrt{15}}{2}
.
Указание. Используя подобие треугольников и теорему Пифагора, найдите отношение BM:MO:ON:ND
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей трапеции ABCD
. Из подобия треугольников BOC
и DOA
следует, что
\frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{3}{4},
а из подобия треугольников CON
и AOM
—
\frac{ON}{OM}=\frac{CN}{AM}=\frac{CO}{OA}=\frac{BO}{OD}=\frac{3}{4}.
Обозначим BM=2x
, DN=3x
, ON=3y
, OM=4y
.
Поскольку \frac{BO}{OD}=\frac{3}{4}
, то
\frac{2x+4y}{3y+3x}=\frac{3}{4}.
Отсюда находим, что x=7y
. Тогда
AO=OD=3y+3x=24y,~DM=3x+3y+4y=28y.
Из прямоугольного треугольника AMD
находим, что
AD^{2}=AM^{2}+DM^{2}=AO^{2}-OM^{2}+DM^{2}=
=(24y)^{2}-(4y)^{2}+(28y)^{2}=16y^{2}(6^{2}-1+7^{2})=16\cdot84y^{2}.
Из уравнения 16\cdot84y^{2}=16
находим, что y^{2}=\frac{1}{84}
. Тогда
AM^{2}=(24y)^{2}-(4y)^{2}=16\cdot35y^{2}=16\cdot\frac{35}{84}=\frac{20}{3}.
Поэтому AM=2\sqrt{\frac{5}{3}}
. Следовательно,
CN=3\cdot\frac{1}{4}AM=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.