1573. Сторона AB
параллелограмма ABCD
равна 2, \angle BAD=45^{\circ}
. Точки E
и F
расположены на диагонали BD
, причём \angle AEB=\angle CFD=90^{\circ}
, BF=\frac{3}{2}BE
. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ. 3.
Указание. Обозначьте FE=x
и составьте уравнение относительно x
. Проверьте полученные корни.
Решение. Обозначим EF=x
. Тогда BE=2x
. Поскольку прямоугольные треугольники ABE
и CDF
равны, то FD=2x
. По теореме Пифагора
AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=2\sqrt{1-x^{2}},
AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{4-4x^{2}+9x^{2}}=\sqrt{4+5x^{2}}.
Если BK
— высота треугольника ABD
, то
BK=AB\sin45^{\circ}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Поскольку AD\cdot BK=BD\cdot AE
, то
\sqrt{4+5x^{2}}\cdot\sqrt{2}=5x\cdot2\sqrt{1-x^{2}}.
Возведя обе части этого уравнения в квадрат и приведя подобные члены, получим биквадратное уравнение
50x^{4}-45x^{2}+4=0.
Отсюда находим, что x^{2}=\frac{4}{5}
или x^{2}=\frac{1}{10}
. Но x^{2}=\frac{4}{5}
не удовлетворяет условию задачи, так как в этом случае AD=2\sqrt{2}
, BD=2\sqrt{5}
. Поэтому AB+AD\lt BD
, что невозможно.
Если же x^{2}=\frac{1}{10}
, то AD=\frac{3\sqrt{2}}{2}
, BD=\frac{\sqrt{10}}{2}
и AB+BD\gt AD
(AD
— наибольшая сторона треугольника ABD
). Следовательно,
S_{ABCD}=AD\cdot BK=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=3.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1986, билет 6, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 86-6-4, с. 276