1575. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
выбраны точки K
и L
так, что AK=KL=LB
. Найдите углы треугольника ABC
, если известно, что CK=\sqrt{2}CL
.
Ответ. \angle B=\arccos\frac{\sqrt{2}}{3}=\arctg\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}
.
Указание. Если P
и Q
— проекции точек K
и L
на BC
, то CP=PQ=QB
и KP=2LQ
.
Решение. Пусть P
и Q
— проекции точек K
и L
на прямую BC
. Обозначим BC=a
, CL=x
, CK=x\sqrt{2}
. Тогда
CP=PQ=QB=\frac{a}{3},
KP=\sqrt{CK^{2}-CP^{2}}=\sqrt{2x^{2}-\frac{a^{2}}{9}},~LQ=\sqrt{CL^{2}-CQ^{2}}=\sqrt{x^{2}-\frac{4a^{2}}{9}}.
Поскольку KP=2LQ
, то
\sqrt{2x^{2}-\frac{a^{2}}{9}}=2\sqrt{x^{2}-\frac{4a^{2}}{9}}.
Из этого уравнения находим, что x^{2}=\frac{5a^{2}}{6}
. Тогда
AC=3LQ=3\sqrt{x^{2}-\frac{4a^{2}}{9}}=3\sqrt{\frac{5a^{2}}{6}-\frac{4a^{2}}{9}}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{2}}.
Следовательно,
\tg\angle B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1987, билет 1, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 87-1-2, с. 281