1576. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
выбраны точки P
и Q
так, что \angle ACP=\angle PCQ=\angle QCB
. Найдите углы треугольника ABC
, если известно, что 4CP=3\sqrt{3}CQ
.
Ответ. \angle B=\arctg\frac{5}{\sqrt{3}}=\arcsin\frac{5}{2\sqrt{7}}=\frac{2}{3}\pi-\arccos\frac{3}{\sqrt{21}}
.
Указание. Опустите перпендикуляры PM
и QN
на BC
и выразите отрезки QN
и NB
через CQ
.
Решение. Пусть M
и N
— проекции точек P
и Q
на BC
. Обозначим CQ=x
, CP=\frac{3x\sqrt{3}}{4}
. Поскольку \angle NCQ=\angle MPC=30^{\circ}
, то
QN=\frac{x}{2},~PM=CP\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9x}{8},
CM=\frac{1}{2}CP=\frac{3x\sqrt{3}}{8},~CN=\frac{x\sqrt{3}}{2},
MN=CN-CM=\frac{x\sqrt{3}}{2}-\frac{3x\sqrt{3}}{8}=\frac{x\sqrt{3}}{8}.
Из подобия треугольников QNB
и PMB
находим, что BN=\frac{4}{9}BM
. Тогда
BN=\frac{4}{5}MN=\frac{x\sqrt{3}}{10}.
Следовательно,
\tg\angle B=\frac{QN}{NB}=\frac{5}{\sqrt{3}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1987, билет 3, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 87-3-2, с. 282