1577. В равнобедренном треугольнике ABC
точки M
и N
находятся на боковых сторонах AB
и BC
соответственно. Найдите площадь треугольника ABC
, если известно, что AM=5
, AN=2\sqrt{37}
, CM=11
, CN=10
.
Ответ. 18\sqrt{21}
.
Указание. Опустите перпендикуляры MP
и NQ
на основание AC
; с помощью теоремы Пифагора составьте уравнение относительно x=AP
.
Решение. Пусть P
и Q
— проекции точек M
и N
на AC
. Обозначим AP=x
. Тогда из подобия треугольников NQC
и MPA
получим, что QC=2x
. Выразим NQ^{2}
по теореме Пифагора из треугольников NQC
и NQA
:
NQ^{2}=NC^{2}-CQ^{2}=AN^{2}-AQ^{2}.
Отсюда находим, что
AQ=\sqrt{AN^{2}+CQ^{2}-NC^{2}}=\sqrt{148+4x^{2}-100}=\sqrt{48+4x^{2}}.
Аналогично CP=\sqrt{96+x^{2}}
. Поскольку
CP-AQ=(AC-x)-(AC-2x)=x,
то
\sqrt{96+x^{2}}-\sqrt{48+4x^{2}}=x.
Решив это уравнение, получим что x=2
. Тогда
PC=10,~AC=12,~BC=15,
высота треугольника ABC
, проведённая из вершины B
, равна \sqrt{15^{2}-6^{2}}=3\sqrt{21}
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=6\cdot3\sqrt{21}=18\sqrt{21}
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1987, билет 2, № 2
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 87-2-2, с. 281