1584. В ромб ABCD
вписана окружность радиуса R
, касающаяся стороны AD
в точке M
и пересекающая отрезок MC
в точке N
такой, что MN=2NC
. Найдите углы и площадь ромба.
Ответ. 2\arctg\frac{1}{\sqrt{2}}=\arccos\frac{1}{3}
; 3R^{2}\sqrt{2}
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей и рассмотрите треугольник FPC
, где P
и Q
точки касания вписанной окружности со сторонами CD
и AB
ромба ABCD
.
Решение. Обозначим CN=x
. Пусть O
— точка пересечения диагоналей ромба (центр вписанной окружности), P
— точка касания окружности со стороной CD
, F
— со стороной AB
. Тогда
CP^{2}=CN\cdot CM=x\cdot3x=3x^{2}.
Поэтому CP=x\sqrt{3}
.
Рассмотрим треугольник FPC
. Его сторона PF
проходит через точку O
,
PF=2R,~FC=CM=3x,~PC=x\sqrt{3},~\angle FPC=90^{\circ}.
По теореме Пифагора
FC^{2}=FP^{2}+PC^{2},~\mbox{или}~9x^{2}=4R^{2}+3x^{2}.
Отсюда находим, что x=\frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}
. Если \angle OCP=\alpha
, то
\tg\alpha=\frac{OP}{PC}=\frac{R}{x\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}},~OC=\frac{OP}{\sin\alpha}=R\sqrt{3},~OD=OC\tg\alpha=\frac{R\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.
Следовательно,
S_{ABCD}=2OC\cdot OD=3R^{2}\sqrt{2}.