1588. Равнобедренные треугольники ABC
(AB=BC)
и A_{1}B_{1}C_{1}
(A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1})
подобны и AB:A_{1}B_{1}=2:1
. Вершины A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
расположены соответственно на сторонах CA
, AB
и BC
, причём A_{1}B_{1}
перпендикулярно AC
. Найдите угол ABC
.
Ответ. \arccos\frac{1}{8}
.
Указание. Докажите, что A_{1}C_{1}
перпендикулярно BC
и составьте тригонометрическое уравнение относительно угла при основании равнобедренного треугольника ABC
.
Решение. Пусть A_{1}B_{1}=B_{1}C_{1}=x
, \angle BAC=\alpha
. Поскольку треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
подобны, то их соответствующие углы равны. Поэтому \angle B_{1}A_{1}C_{1}=B_{1}A_{1}C_{1}=\alpha
. Тогда
\angle C_{1}A_{1}C=90^{\circ}-\angle B_{1}A_{1}C_{1}=90^{\circ}-\alpha.
Поэтому
\angle A_{1}C_{1}C=90^{\circ},~AA_{1}=A_{1}B_{1}\ctg\alpha=x\ctg\alpha,
A_{1}C_{1}=2x\cos\alpha,~A_{1}C=\frac{A_{1}C_{1}}{\sin\alpha}=\frac{2x\cos\alpha}{\sin\alpha}=2x\ctg\alpha.
Тогда
AC=AA_{1}+A_{1}C=3x\cdot\ctg\alpha,
а так как AC=2A_{1}C_{1}
, то 3\ctg\alpha=4\cos\alpha
.
Из этого уравнения находим, что
\sin\alpha=\frac{3}{4},~\cos\alpha=\frac{\sqrt{7}}{4}.
Тогда
\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=-\frac{1}{8},
\cos\angle ABC=\cos(180^{\circ}-2\alpha)=-\cos2\alpha=\frac{1}{8}.