1591. В треугольнике ABC
перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB
, пересекает продолжение стороны BC
в точке M
, причём \frac{MC}{MB}=\frac{1}{5}
. Перпендикуляр, проходящий через середину стороны BC
, пересекает сторону AC
в точке N
, причём \frac{AN}{NC}=\frac{1}{2}
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle A=\arctg2
; \angle B=\arctg3
; \angle C=45^{\circ}
.
Указание. Продолжите серединный перпендикуляр к стороне BC
до пересечения с прямой AB
и с прямой, проведённой через вершину C
параллельно AB
.
Решение. Пусть P
и Q
— середины сторон BC
и AB
соответственно, K
— точка пересечения прямых PN
и AB
. Через точку C
проведём прямую, параллельную AB
, до пересечения с прямой PN
в точке T
. Обозначим MC=x
, AQ=a
. Тогда CP=PB=2x
, BQ=a
.
Из равенства треугольников KPB
и TPC
следует, что CT=KB
, а из подобия треугольников KNA
и TNC
—
\frac{KA}{CT}=\frac{NA}{NC}=\frac{1}{2}.
Поэтому KA=AB=2a
.
Из подобия треугольников MBQ
и KBP
следует, что
\frac{PB}{QB}=\frac{KB}{MB},~\mbox{или}~\frac{2x}{a}=\frac{4a}{5x}.
Отсюда находим, что a^{2}=\frac{5x^{2}}{2}
. По теореме Пифагора
MQ=\sqrt{MB^{2}-QB^{2}}=\sqrt{25x^{2}-\frac{5x^{2}}{2}}=\frac{3x\sqrt{5}}{\sqrt{2}}.
Поэтому
\tg\angle B=\frac{MQ}{QB}=\frac{\frac{3x\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}{\frac{x\sqrt{5}}{\sqrt{2}}}=3.
Пусть AF
— высота треугольника ABC
. Тогда AF
— средняя линия треугольника KPB
. Поэтому BF=FP=x
. Тогда
AF=\sqrt{AB^{2}-BF^{2}}=\sqrt{4a^{2}-x^{2}}=\sqrt{10x^{2}-x^{2}}=3x.
Следовательно,
\tg\angle ACB=\frac{AF}{FC}=\frac{3x}{3x}=1,~\angle ACB=45^{\circ}.
Тогда
\tg\angle BAC=\tg(180^{\circ}-\angle B-\angle A)=-\tg(\angle A+\angle B)=-\frac{1+3}{1-3}=2.