1596. В точках A
и B
прямой, по одну сторону от неё, восстановлены два перпендикуляра AA_{1}=a
и BB_{1}=b
. Докажите, что точка пересечения прямых AB_{1}
и A_{1}B
будет находиться на одном и том же расстоянии от прямой AB
независимо от положения точек A
и B
.
Указание. Рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Пусть M
— точка пересечения прямых AB_{1}
и A_{1}B
, P
— её проекция на прямую AB
. Из подобия треугольников AMA_{1}
и B_{1}MB
следует, что
\frac{AM}{MB_{1}}=\frac{AA_{1}}{BB_{1}}=\frac{a}{b}.
Поэтому \frac{AM}{AB_{1}}=\frac{a}{a+b}
.
Из подобия треугольников AMP
и AB_{1}B
следует, что
\frac{MP}{BB_{1}}=\frac{AM}{AB_{1}}=\frac{a}{a+b}.
Тогда
MP=\frac{a\cdot BB_{1}}{a+b}=\frac{ab}{a+b}.
Следовательно, расстояние от точки M
до прямой AB
зависит только от длин отрезков AA_{1}
и BB_{1}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1953, билет 2, № 3
Источник: Задачи по математике и физике, дававшиеся на приёмных испытаниях в 1947—1953 гг. — М.: МФТИ, 1956. — № 3, с. 7
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 53-2-3, с. 43