16001. Точки D
и E
лежат на сторонах соответственно AB
и AC
треугольника ABC
. Известно, что \angle CBE=\alpha
, \angle ABE=\beta
, \angle BCD=\gamma
и \angle DCE=\delta
. Найдите угол CDE
.
Ответ. \arcctg\frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha+\gamma+\delta)}{\sin\alpha\sin\delta\sin(\alpha+\beta+\gamma)}-\ctg\delta
.
Решение. Обозначим \angle CDE=x
. По теореме синусов из треугольников CDE
, BCD
и BCE
получаем
\frac{\sin(x+\delta)}{\sin x}=\frac{CD}{CE}=\frac{CD}{CB}\cdot\frac{CB}{CE}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta+\gamma)}\cdot\frac{\sin(\alpha+\gamma+\delta)}{\sin\alpha},
а так как
\frac{\sin(x+\delta)}{\sin x}=\frac{\sin x\cos\delta+\cos x\sin\delta}{\sin x}=\cos\delta+\ctg x\sin\delta,
то
\ctg x=\frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha+\gamma+\delta)}{\sin\alpha\sin\delta\sin(\alpha+\beta+\gamma)}-\ctg\delta.
Следовательно,
x=\arcctg\frac{\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha+\gamma+\delta)}{\sin\alpha\sin\delta\sin(\alpha+\beta+\gamma)}-\ctg\delta.