16002. Дан сектор AOD
окружности с центром O
. Возможно ли с помощью циркуля и линейки провести радиус OB
, пересекающий хорду AD
в точке C
, для которой AC=AB
?
Ответ. Невозможно.
Решение. Предположим, такое построение возможно. Тогда ABC
и OAB
— равнобедренные треугольники, с общим углом B
при основаниях. Эти треугольники подобны, поэтому
\angle BOD=2\angle BAD=2\angle BAC=2\angle AOB~\Rightarrow~\angle AOB=\frac{1}{3}\angle AOD,
т. е. луч OB
— трисектриса угла AOD
. Значит, с помощью циркуля и линейки возможно построение трисектрисы угла. Противоречие. (См. Прасолов В.В. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. — М.: Наука, 1992. — 80 с. — (Популярные лекции по математике).)