16004. Две окружности проходят через вершину угла BAC
и точку, лежащую на биссектрисе угла. Одна из окружностей вторично пересекает лучи AB
и AC
в точках E
и G
соответственно, а вторая — в точках F
и H
соответственно. Докажите, что EF=GH
.
Решение. Пусть точка E
лежит между A
и F
, а точка H
— между A
и G
, а обе окружности проходят через точку D
, лежащую на биссектрисе данного угла.
Вписанные в первую окружность равные углы DAE
и DAG
опираются на равные хорды DE
и DG
. Вписанные во вторую окружность равные углы DAF
и DAH
опираются на равные хорды DF
и DH
. Кроме того, каждый из углов EDG
и FDH
дополняет угол BAC
до 180^{\circ}
, поэтому эти углы равны. Тогда равны углы EDF
и GDH
. Значит, треугольники EDF
и GDH
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, EF=GH
. Что и требовалось доказать.