16006. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
. Прямые AB
, CA
и AB
повернули на угол \theta
против часовой стрелки вокруг точек C_{1}
, B_{1}
и A_{1}
соответственно (\theta\lt90^{\circ}
). Докажите, что полученные прямые в пересечении образуют треугольник, подобный треугольнику ABC
, и найдите коэффициент подобия.
Ответ. \cos\theta
.
Решение. Пусть образы прямых, содержащих стороны треугольника ABC
, пересекаются в точках A'
, B'
и C'
(см. рис.), а P
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда четырёхугольник AC_{1}PB_{1}
вписанный, а так как \angle AC_{1}A'=\angle ABA'=\theta
, то точка A'
лежит на его описанной окружности. Значит,
\angle C'A'B'=\angle B_{1}A'C_{1}=\angle B_{1}AC_{1}=\angle CAB.
Аналогично, четырёхугольники BA_{1}PC_{1}
и CA_{1}PB_{1}
вписанные, точки B'
и C'
(соответственно) лежат на их описанных окружностях, \angle A'B'C'=\angle ABC
и \angle B'C'A'=\angle BCA
. Следовательно, треугольники A'B'C'
и ABC
подобны.
Поскольку
\angle PB'C'=\angle PB'A_{1}=\angle PBA_{1}=\angle PBC,
и аналогично \angle PC'B'=\angle PCB
, то треугольники PB'C'
и PBC
подобны, причём их коэффициент подобия k
равен отношению их сторон B'C'
.
Пусть PH
— высота треугольника PB'C'
. Поскольку PA_{1}
— соответствующая высота подобного ему треугольника PBC
, то
k=\frac{B'C'}{BC}=\frac{PH}{PA}=\cos\angle HPA_{1}=\cos\angle CA_{1}C'=\cos\theta.
Примечание. 1. Если \theta=0^{\circ}
, то треугольник A'B'C'
совпадает с треугольником ABC
; если \theta=90^{\circ}
, то треугольник A'B'C'
вырождается в точку P
.
2. Утверждение верно в общем случае, т. е. когда A_{1}B_{1}C_{1}
— педальный треугольник для произвольной точки P
(в нашем случае P
— центр описанной окружности треугольника ABC
).
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1981, № 4, задача 536 (1980, с. 113), с. 122