16018. Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника. Суммы квадратов площадей противолежащих треугольников равны. Докажите, что одна из диагоналей делит другую пополам.
Решение. Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке E
. Обозначим AE=a
, BE=b
, CE=c
и DE=d
; \varphi
— угол между диагоналями. Тогда
S_{\triangle AEB}=\frac{1}{2}ab\sin\varphi,~S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}bc\sin\varphi,~S_{\triangle CED}=\frac{1}{2}cd\sin\varphi,~S_{\triangle DEA}=\frac{1}{2}da\sin\varphi.
Значит,
\frac{1}{4}a^{2}b^{2}\sin^{2}\varphi+\frac{1}{4}c^{2}d^{2}\sin^{2}\varphi=\frac{1}{4}b^{2}c^{2}\sin^{2}\varphi+\frac{1}{4}d^{2}a^{2}\sin^{2}\varphi~\Rightarrow
\Rightarrow~a^{2}b^{2}+c^{2}d^{2}=b^{2}c^{2}+d^{2}a^{2}~\Rightarrow~b^{2}(a^{2}-c^{2})=d^{2}(a^{2}-c^{2})~\Rightarrow
\Rightarrow~(b^{2}-d^{2})(a^{2}c-^{2})=0.
Следовательно, b=d
или a=c
. Что и требовалось доказать.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 1980, 8 класс
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1984, № 9, задача 5 (1983, с. 304), с. 287