16022. Точка O
центр окружности, точка B
лежит на окружности, точки A
и C
— внутри окружности, причём OA\perp AB
. Докажите, что если
а) AB=BC
и \angle ABC=60^{\circ}
, то CD=OA\sqrt{3}
(рис. 1.);
б) OA=BC
и \angle ABC=30^{\circ}
, то CD=AB\sqrt{3}
(рис. 2.).
Ответ. а) Пусть луч BC
пересекает окружность в точке D
. На луче BA
отложим отрезок BE=DD
. Тогда треугольник BDE
равносторонний, а так как треугольник ABC
тоже равносторонний, то AE=CD
.
Точка E
равноудалена от концов отрезка BD
, а так как OB=OD
как радиусы одной окружности, то точка O
тоже равноудалены от концов отрезка BS
. Значит, прямая EO
— серединный перпендикуляр к этому отрезку. Тогда \angle AEO=30^{\circ}
. Следовательно,
CD=AE=OA\ctg30^{\circ}=OA\sqrt{3}.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть луч BA
пересекает окружность в точке E
, а EF
— перпендикуляр к BD
. Тогда A
— середина BE
, и из прямоугольного треугольника DFE
получаем, что
EF=\frac{1}{2}BE=AB.
Центральный угол DOE
вдвое больше вписанного угла DBE
, поэтому равнобедренный треугольник DOE
— равносторонний. Значит, ED=EO=OB
, и прямоугольные треугольники BAO
и EFD
равны по катету и гипотенузе. Тогда DF=OA=BC
. Следовательно,
CD=BF=EF\ctg30^{\circ}=AB\sqrt{3}.
Что и требовалось доказать.