16023. Дан описанный четырёхугольник ABCD
. Пусть
u_{AB}=p_{1}\sin\angle DAB+p_{2}\sin\angle ABC,
где p_{1}
и p_{2}
— расстояния от вершин A
и B
до прямой CD
. Аналогично определяются u_{BC}
, u_{CD}
и u_{DA}
. Докажите, что
u_{AB}=u_{BC}=u_{CD}=u_{DA}.
Решение. Пусть вписанная окружность радиуса r
четырёхугольника ABCD
касается его сторон AB
, BC
, CD
и DA
в точках K
, L
, M
и N
соответственно. Обозначим
AK=AN=a,~BK=BL=b,~CL=CM=c,~DM=DN=d,
\angle A=\alpha,~\angle B=\beta,~\angle C=\gamma,~\angle D=\delta.
Тогда
p_{1}=AD\sin\angle D=(a+d)\sin\delta,~p_{2}=BC\sin\angle C=(b+c)\sin\gamma.
u_{AB}=(a+d)\sin\delta\sin\alpha+(b+c)\sin\gamma\sin\beta.
Кроме того,
\frac{a}{r}=\ctg\frac{\alpha}{2},~\frac{b}{r}=\ctg\frac{\beta}{2},~\frac{c}{r}=\ctg\frac{\gamma}{2},~\frac{d}{r}=\ctg\frac{\delta}{2}.
Значит,
\frac{1}{r}\cdot u_{AB}=\left(\frac{a}{r}+\frac{d}{r}\right)\sin\delta\sin\alpha+\left(\frac{b}{r}+\frac{c}{r}\right)\sin\gamma\sin\beta=
=\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\delta}{2}\right)\sin\delta\sin\alpha+\left(\ctg\frac{\beta}{2}+\ctg\frac{\gamma}{2}\right)\sin\gamma\sin\beta=
=\left(\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}+\frac{\cos\frac{\delta}{2}}{\sin\frac{\delta}{2}}\right)\cdot2\sin\frac{\delta}{2}\cos\frac{\delta}{2}\cdot2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}+
+\left(\frac{\cos\frac{\beta}{2}}{\sin\frac{\beta}{2}}+\frac{\cos\frac{\gamma}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}}\right)\cdot2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}\cdot2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}=
=2\cos^{2}\frac{\alpha}{2}\sin\delta+2\cos^{2}\frac{\delta}{2}\sin\alpha+2\cos^{2}\frac{\beta}{2}\sin\gamma+2\cos^{2}\frac{\gamma}{2}\sin\beta=
=\sin\delta(1+\cos\alpha)+\sin\alpha(1+\cos\delta)+\sin\gamma(1+\cos\beta)+\sin\beta(1+\cos\gamma)=
=\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta+
+(\sin\alpha\cos\delta+\cos\alpha\sin\delta)+(\sin\beta\cos\gamma+\cos\beta\sin\gamma)=
=\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta+\sin(\alpha+\delta)+\sin(\beta+\gamma)=
=\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta
так как
(\alpha+\delta)+(\beta+\gamma)=360^{\circ}~\Rightarrow~\sin(\alpha+\delta)+\sin(\beta+\gamma)=0.
Следовательно,
u_{AB}=r(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta).
Аналогично,
u_{BC}=r(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta),
u_{CD}=r(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta),
u_{DA}=r(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta).
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Британская математическая олимпиада. — 1984
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1985, № 4, задача 7 (1984, 215), с. 120