16024. Даны концентрические окружности радиусов r
и R
. Две соседние стороны прямоугольника лежат на одной из них, а две другие — второй. Найдите стороны такого прямоугольника с наибольшей площадью.
Ответ. \sqrt{R^{2}+r^{2}}
и \frac{2Rr}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}
.
Решение. Пусть вершины A
и B
прямоугольника ABCD
лежат на меньшей из двух окружностей (радиуса r
), вершины C
и D
— на большей окружности (радиуса R
); прямая, проходящая через общий центр O
окружностей, пересекает AB
в точке E
, а CD
— в точке F
. Тогда, поскольку BC\parallel EF
, получаем
S_{ABCD}=2S_{BEFC}=4S_{\triangle OBC}=4\cdot\frac{1}{2}OC\cdot OB\sin\angle BOC\leqslant2OC\cdot OB=2Rr,
причём равенство достигается в случае когда OB\perp OC
. Значит, наибольшая площадь такого прямоугольника равна 2Rr
. При этом
BC=\sqrt{R^{2}+r^{2}},~CD=\frac{2Rr}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}.
Примечание. Аналитическое решение этой задачи сводится к нахождению величины x
, для которой достигает наибольшего значения функции
f(x)=2x(\sqrt{R^{2}-x^{2}}+\sqrt{r^{2}-x^{2}})
для 0\leqslant x\leqslant r\lt R
. Значит, приведённое выше рассуждение даёт короткое геометрическое решение.
Источник: Шведские математические олимпиады. — 1983
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1985, № 7, задача 4 (1985, с. 115), с. 218