16027. Найдите необходимое и достаточное условие существования прямоугольного треугольника с периметром P
и площадью S
.
Ответ. P\geqslant2\sqrt{S}(\sqrt{2}+1)
.
Решение. Пусть катеты треугольника равны a
и b
, а гипотенуза равна c
. Тогда
P=a+b+c=a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}},~S=\frac{ab}{2}.
Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего арифметического, поэтому
\frac{1}{2}P=\frac{a+b}{2}+\sqrt{\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}\geqslant\sqrt{ab}+\sqrt{\frac{1}{2}ab}=\sqrt{\frac{1}{2}ab}(\sqrt{2}+1)=\sqrt{S}(\sqrt{2}+1),
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда a=b
. Следовательно, искомое необходимое и достаточное условие —
P\geqslant2\sqrt{S}(\sqrt{2}+1).
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1986, № 4, задача 1004 (1985, с. 15), с. 86