1603. Площадь треугольника ABC
равна 2\sqrt{3}
, сторона BC
равна 1, угол BCA
равен 30^{\circ}
. Точка D
стороны AB
удалена от точки B
на 3, M
— точка пересечения CD
с медианой BE
. Найдите отношение BM:ME
.
Ответ. 3:5
.
Решение. Из равенства S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\sin\angle BCA
находим, что
AC=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC\sin\angle BCA}=\frac{4\sqrt{3}}{1\cdot\frac{1}{2}}=8\sqrt{3}.
По теореме косинусов
AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\sin30^{\circ}}=\sqrt{192+1-2\cdot8\sqrt{3}\cdot1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{169}=13,
поэтому
AD=AB-BD=13-3=10.
Значит, \frac{BD}{AD}=\frac{3}{10}
.
Через вершину B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением отрезка CD
в точке K
. Треугольник BDK
подобен треугольнику ADC
с коэффициентом \frac{BD}{AD}=\frac{3}{10}
, значит,
BK=\frac{3}{10}AC=\frac{3}{10}\cdot2CE=\frac{3}{5}CE,~\frac{BK}{CE}=\frac{3}{5}.
Треугольник BMK
подобен треугольнику EMC
, следовательно,
\frac{BM}{ME}=\frac{BK}{CE}=\frac{3}{5}.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1982, вариант 4, № 3
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 74