16033. Вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AB
в точке D
, а E
— произвольная точка на стороне AC
. Докажите, что у вписанных окружностей треугольников ADE
, BCE
и BDE
есть общая касательная.
Решение. Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть прямая l
касается вписанных окружностей треугольников ADE
и BCE
. Докажем, что она касается вписанной окружности треугольника BDE
. Это равносильно тому, что BDJK
— описанный четырёхугольник, или что BD+GK=BK+DG
.
Заметим, что
FL=NP,~BD=BQ,~NR=QM,~BM=BJ,~FG=GH,
KL=KJ,~RP=DS=DH.
Тогда
BD+FL=BD+NP=BQ+(NR+RP)=BQ+QM+RP=
=BM+RP=BG+RP,
поэтому
BD+GK=BD+(FL-FG-KL)=(BD+FL)-(FG+KL)=
=(BG+RP)-(GH+KJ)=(BG+DS)-(GH+KJ)=
=(BG-KJ)+(DS-GH)=BK+(DH-GH)=BK+DG.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1988, № 4, задача 1219 (1987, с. 53), с. 124