16043. Точка C
— середина дуги \Gamma
данной окружности; P
— произвольная точка этой дуги; M
— такая точка дуги \Gamma
, для которой PM=\frac{PA-PB}{2}
. Укажите все возможные точки M
.
Ответ. Дуга HCL
описанной окружности треугольника HCL
, где точки H
и L
лежат на отрезках AC
и BC
соответственно, причём AH=BL=\frac{1}{2}AB
.
Решение. Если точка M
перемещается по дуге \Gamma
от A
к C
, то точка M
перемещается по хорде PC
от P
к C
. Из симметрии достаточно рассмотреть случай, PB\gt PA
.
Отметим на хордах AC
и BC
точки соответственно H
и L
, для которых
AH=BL=\frac{1}{2}AB.
Пусть хорда PC
пересекает описанную окружность равнобедренного треугольника HCL
в точке M
. Докажем, что
2PM=PB-PA.
Действительно, заметим, что HL\parallel AB
и
\angle HLM=\angle HCM=\angle ACP=\angle ABP,
поэтому ML\parallel PB
, а так как
\angle HML=\angle HCL=\angle ACB=\angle APB,
то HM\parallel AP
. Тогда
\frac{PC}{AC}=\frac{PM}{AH}=\frac{2PM}{2AH}=\frac{2PM}{AM},
откуда
2PM=\frac{PC\cdot AB}{AC}.
С другой стороны, по теореме Птолемея для вписанного четырёхугольника ABCP
получаем
PB\cdot AC=PA\cdot BC+PC\cdot AB=PA\cdot AC+PC\cdot AB~\Rightarrow~
\Rightarrow~AC(PB-PA)=PC\cdot AB~\Rightarrow~PB=\frac{PC\cdot AB}{AC}=2PM.
Следовательно, геометрическое место точек M
— дуга HCL
описанной окружности треугольника HCL
.