16051. Точки A
, B
и C
лежат на окружности, причём B
и C
фиксированы, а точка A
перемещается по окружности. Точки D
и E
лежат на отрезках BA
и CA
соответственно, причём расстояния BD=m
и CE=n
фиксированы. Точки P
и Q
лежат на отрезках BC
и DE
, причём BP:PC=DQ:QE=k
также постоянно. Докажите, что длина отрезка PQ
постоянна.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Через точки B
и P
проведём лучи, сонаправленные с лучом CA
, и отложим на них отрезки BX=PY=CE=m
. Тогда PBYX
и BCEX
— параллелограммы, и точки X
, Y
и E
лежат на прямой, параллельной стороне BC
.
На отрезке DE
отметим точку Q'
, для которой
\frac{DQ'}{Q'E}=\frac{XY}{YE}=\frac{BP}{PC}=k.
Тогда Q'
совпадает с точкой Q
из условия задачи.
Треугольник BDX
со сторонами BD=m
, BX=CE=n
и углом DBX
между ними, равным фиксированному углу BAC
, фиксирован. Значит, для любого положения точки A
отрезок DX
имеет одну и ту же длину, а так как \frac{YQ}{DX}=\frac{1}{k+1}
, то то и отрезок QY
имеет фиксированную длину. Кроме того, \angle PYQ=\angle BXD
как углы между соответственно сонаправленными сторонами, поэтому угол PYQ
тоже фиксирован. Следовательно, фиксирован и отрезок PQ
. Что и требовалось доказать.
Аналогично для случая, когда точка A
лежит на дополнительной дуге BC
.