16056. Пусть a
, b
и c
— положительные числа. Найдите наименьшее значение функции
f(x)=\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\sqrt{(b-x)^{2}+c^{2}}.
Ответ. \sqrt{(a+c)^{2}+b^{2}}
.
Решение. На отрезке AB=b
отметим точку P
. Обозначим AP=x
. По одну сторону от прямой AB
отметим точки C
и D
, для которых AC\perp AB
, DB\perp AB
, AC=a
, DB=c
. Тогда
CP=\sqrt{a{2}+x^{2}},~PD=\sqrt{(b-x)^{2}+c^{2}}.
Пусть точка D'
симметрична точке D
относительно прямой AB
. Тогда
f(x)=\sqrt{a^{2}+x^{2}}+\sqrt{(b-x)^{2}+c^{2}}=AP+PD=AP+PD'\geqslant CD'=
=\sqrt{(CA+BD')^{2}+AB^{2}}=\sqrt{(CA+BD)^{2}+AB^{2}}=\sqrt{(a+c)^{2}+b^{2}}.
Равенство достигается, если точка P
лежит на прямой AB
.