16057. Точки A
и P
лежат на окружности \Gamma
, l
— фиксированная прямая, проходящая через точку A
, но не проходящая через точку P
. Через точку P
проводятся всевозможные прямые x
, пересекающие прямую l
в точке L_{x}
, а окружность \Gamma
— в точке G_{x}
, отличной от P
. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AL_{x}G_{x}
.
Ответ. Проходящая через точку A
прямая без точки A
.
Решение. Обозначим \theta=\angle AG_{x}P=\frac{1}{2}\smile AP
. Заметим, что \theta
не зависит от прямой x
. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (угол AG_{x}P
острый).
Пусть M_{x}
— центр описанной окружности треугольника AG_{x}L_{x}
, N_{x}
— проекция точки M_{x}
на прямую l
. Тогда
\angle AM_{x}N_{x}=\frac{1}{2}\angle AM_{x}L_{x}=\frac{1}{2}\smile AL_{x}=\theta,
Поэтому
\angle M_{x}AN_{x}=90^{\circ}-\angle AM_{x}N_{x}=90^{\circ}-\theta.
Значит, угол M_{x}AN_{x}
не зависит от прямой x
. Следовательно, каждая точка M_{x}
лежит на луче с началом в точке A
, образующим угол 90^{\circ}-\theta
с прямой l
.
Аналогично, для случая, когда угол AG_{x}P
тупой, каждая точка M_{x}
лежит на дополнительном к указанному лучу с началом A
. Таким образом, все точки M_{x}
лежат на прямой m
, проходящей через точку A
. Если хорда PQ
окружности \Gamma
параллельна прямой l
, то прямая m
перпендикулярна AQ
, так как если B
— отличная от A
точка пересечения прямой l
с окружностью \Gamma
, то
\smile BP=\smile AQ~\Rightarrow~\smile QPB=\angle AG_{x}P=2\theta~\Rightarrow
\Rightarrow~\angle BAQ=\frac{1}{2}\smile QPB=\theta~\Rightarrow~\angle M_{x}AQ=(90^{\circ}-\theta)+\theta=90^{\circ}.
В то же время, для любой отличной от A
точки прямой m
существует прямая x
, удовлетворяющая условию задачи (для доказательства проведём указанные выше рассуждения в обратном порядке). Следовательно, искомое ГМТ — построенная выше проходящая через точку A
прямая m
без точки A
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1991, № 3, задача 1506 (1990, 19), с. 87