1606. В равнобедренной трапеции ABCD
дано: AB=CD=3
, основание AD=7
, \angle BAD
равен 60^{\circ}
. На диагонали BD
расположена точка M
так, что BM:MD=3:5
. Какую из сторон трапеции: BC
или CD
пересекает продолжение отрезка AM
?
Ответ. CD
.
Указание. Пусть K
— точка пересечения прямых AM
и BC
. Сравните BK
и BC
.
Решение. Пусть P
и Q
— проекции вершин B
и C
на большее основание AD
трапеции ABCD
. Из прямоугольных треугольников APB
и DQC
находим, что AP=DQ=\frac{3}{2}
. Следовательно,
BC=PQ=AD-AP-DQ=4.
Пусть K
— точка пересечения прямых AM
и BC
. Из подобия треугольников BMK
и DMA
находим, что
BK=BM\cdot\frac{AD}{MD}=\frac{21}{5}=4{,}2.
Поскольку BK\gt BC
, то продолжение отрезка AM
пересекает сторону CD
.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1969, № 3, вариант 1