16064. Треугольник ABC
расположен по одну сторону от прямой l
. Окружности радиусов r_{1}
и r_{2}
, расположенные вне этого треугольника, касаются прямых l
и BC
, а также прямых AB
и AC
соответственно.
а) Пусть AB=AC
. Докажите, что сумма r_{1}+r_{2}
не зависит от указанного выше положения прямой l
.
б) Найдите числа k_{1}
и k_{2}
, зависящие только от треугольника ABC
и не зависящие от положения прямой l
.
Решение. Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть углы при вершинах B
и C
треугольника ABC
равны \beta
и \gamma
соответственно, BC=a
, полупериметр треугольника равен p
.
Поскольку BM
и CN
— биссектрисы углов ABT
и ACU
, то
TB=BP=r_{1}\tg\frac{\beta}{2}~\mbox{и}~CU=CQ=r_{2}\tg\frac{\gamma}{2},
а так как TU=VW
, то
BC+TB+CU=a+r_{1}\tg\frac{\beta}{2}+r_{2}\tg\frac{\gamma}{2}=TU=\frac{TU+VW}{2}=
=\frac{(BC+BP+CQ)+(PA+QA)}{2}=p.
Значит,
k_{1}=r_{1}\tg\frac{\beta}{2}~\mbox{и}~k_{2}=r_{2}\tg\frac{\gamma}{2}.
Отсюда следует утверждение б).
Пусть теперь AB=AC
. Тогда по доказанному выше сумма r_{1}+r_{2}
зависит только от равнобедренного треугольника ABC
и не зависит от положения прямой l
, так как
r_{1}+r_{2}=\frac{p-a}{\tg\beta+\tg\gamma}=\frac{p-a}{2\tg\beta}.
Для вычисления этой суммы возьмём l\parallel BC
. Тогда
r_{1}+r_{2}=2r_{1}=2\cdot\frac{h_{a}}{2}=h_{a},
где h_{a}
— высота треугольника ABC
, проведённая из вершины A
.