16071. В треугольнике ABC
проведены высоты AA'
, BB'
и CC'
. Отрезок B'C'
пересекается с высотой AA'
в точке K
. Серединный перпендикуляр к отрезку A'K
пересекает стороны AB
и AC
в точках L
и M
соответственно. Докажите, что точки A
, A'
, L
и M
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
, противолежащие вершинам A
, B
и C
, через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно.
Пусть описанная окружность треугольника KB'A'
вторично пересекает прямую AC
в точке M'
. Поскольку
\angle AB'C'=\angle ABC=\beta
(см. задачу 141), а четырёхугольник KA'M'B'
вписанный, то
\angle KA'M'=\angle KB'A=\beta=\angle A'B'M'=\angle A'KM'.
Значит, треугольник KA'M'
равнобедренный, M'K=M'A'
. Аналогично, L'K=L'A'
, поэтому прямая L'M'
— серединный перпендикуляр к отрезку KA'
. Следовательно, точки L'
и M'
совпадают с L
и M
соответственно. Тогда
\angle LA'M=\angle L'A'M'=\angle KA'L'+\angle KA'M'=\angle A'KL'+\angle A'KM'=
=\gamma+\beta=180^{\circ}-\alpha=180^{\circ}-\angle L'KM'=180^{\circ}-\angle LAM
(см. задачу 141). Значит, четырёхугольник ALA'M
вписанный. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1993, № 3, задача 1736 (1992, с. 110), с. 88