16073. Точки D
и E
— основания высот, проведённых из вершин соответственно A
и B
треугольника ABC
со сторонами AB=c
и BC=a
. Точка M
лежит на прямой AD
, причём AD=DM
.
а) Докажите, что треугольник ABC
, для которого точки C
, D
, E
и M
лежат на одной окружности, тупоугольный.
б) Найдите все такие треугольники ABC
, для которых точки C
, D
, E
и M
лежат на одной окружности.
Ответ. б) Все треугольники, у которых углы \alpha
, \beta
и \gamma
удовлетворяют условиям \beta=\gamma+90^{\circ}
и \alpha=90^{\circ}-2\gamma
.
Решение. а) Пусть углы, противолежащие сторонам BC=a
, CA=b
и AB=c
треугольника ABC
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а радиус описанной окружности треугольника ABC
равен R
.
Поскольку
AD=AB\sin\angle ABD=c\sin\beta,~AE=AB\cos\angle BAE=c\cos\alpha,
AM=2AD=2c\sin\beta,
а точки C
, D
, E
и M
лежат на одной окружности, то
AD\cdot AM=AE\cdot AC,~\mbox{или}~2c^{2}\sin^{2}\beta=bc\cos\alpha,
а так как b=2R\sin\beta
и c=2R\sin\gamma
, то
2\sin\gamma\sin\beta=\cos\alpha,
откуда
2\sin\beta\sin\gamma=\cos(180^{\circ}-\beta-\gamma)=-\cos(\beta+\gamma)=
=-\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma~\Rightarrow~\cos(\beta-\gamma)=0.
Значит,
\beta-\gamma=90^{\circ}~\Rightarrow~\beta=\gamma+90^{\circ}\gt90^{\circ}.
Утверждение пункта а) доказано.
б) Итак, для всех треугольников, для которых точки C
, D
, E
и M
лежат на одной окружности, верны равенства
\beta=\gamma+90^{\circ}~\mbox{и}~\alpha=180^{\circ}-(\beta+\gamma)=180^{\circ}-(\gamma+90^{\circ})-\gamma=90^{\circ}-2\gamma,
Докажем обратное. Поскольку по теореме о внешнем угле треугольника
\angle DBM=\angle DBA=\alpha+\gamma=(90^{\circ}-2\gamma)+\gamma=90^{\circ}-\gamma=\angle CBE,
то точки M
, B
и E
лежат на одной прямой. Значит, ME
(как и CD
) — высота треугольника AMC
. Следовательно, B
— ортоцентр этого треугольника, а точки C
, D
, E
и M
лежат на окружности с диаметром CM
.
Источник: Австрийские математические олимпиады. — 1992
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1993, № 5, задача 3, с. 134