16073. Точки D
и E
— основания высот, проведённых из вершин соответственно A
и B
треугольника ABC
со сторонами AB=c
и BC=a
. Точка M
лежит на прямой AD
, причём AD=DM
.
а) Докажите, что существует неостроугольный треугольник ABC
, для которого точки C
, D
, E
и M
лежат на одной окружности.
б) Найдите все такие треугольники ABC
, для которых точки C
, D
, E
и M
лежат на одной окружности.
Ответ. б) Все треугольники, у которых вершина B
— ортоцентр треугольника AMC
.
Решение. а) Пусть углы, противолежащие вершинам A
, B
и C
треугольника ABC
, равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а радиус описанной окружности прямоугольного треугольника ACD
равен R
(AC=2R
). Достаточно доказать, что сам треугольник ABC
неостроугольный.
Поскольку
AD=AB\sin\angle ABD=c\sin\beta,~AE=AB\cos\angle BAE=c\cos\alpha,
AM=2AD=2c\sin\beta,
а точки C
, D
, E
и M
лежат на одной окружности, то
AD\cdot AM=AE\cdot AC,~\mbox{или}~2c^{2}\sin^{2}\beta=bc\cos\alpha,
а так как AC=2R
, то
2c\sin\beta=2R\cos\alpha,~\mbox{или}~2R\sin\gamma\sin\beta=2R\cos\alpha,
откуда
\sin\beta\sin\gamma=\cos\alpha=\cos(180^{\circ}-\beta-\gamma)=-\cos(\beta+\gamma)=
=-\cos\beta\cos\gamma+\sin\beta\sin\gamma~\Rightarrow~\cos(\beta-\gamma)=0.
Значит,
\beta-\gamma=90^{\circ}~\Rightarrow~\beta=\gamma+90^{\circ}\gt90^{\circ}.
Утверждение пункта а) доказано.
б) Итак, для всех треугольников, для которых точки C
, D
, E
и M
лежат на одной окружности, верны равенства
\beta=\gamma+90^{\circ},~\mbox{и}~\alpha=180^{\circ}-(\beta+\gamma)=180^{\circ}-(\gamma+90^{\circ})-\gamma=90^{\circ}-2\gamma,
а так как по теореме о внешнем угле треугольника
\angle DBM=\angle DBA=\alpha+\gamma=(90^{\circ}-2\gamma)+\gamma=90^{\circ}-\gamma=\angle CBE,
то точки M
, B
и E
лежат на одной прямой. Значит, ME
(как и CD
) — высота треугольника AMC
. Следовательно, B
— ортоцентр этого треугольника.
Обратно, если B
— ортоцентр треугольника ABC
, то ABC
— неостроугольный треугольник, а точки C
, D
, E
и M
лежат на одной окружности. Утверждение пункта б) доказано.