16079. Найдите наименьшее значение величины (x+y)(y+z)
, где x
, y
и z
— положительные числа, удовлетворяющие условию xyz(x+y+z)=1
.
Ответ. 2.
Решение. Первый способ. Рассмотрим треугольник со сторонами a=y+z
, b=x+z
и c=x+y
. Такой треугольник существует, так как
a+b=x+y+2z\gt x+y=c,
и аналогично,
b+c\gt a,~a+c\gt b.
Пусть p=x+y+z
— полупериметр треугольника, S
— площадь. Тогда по формуле Герона
S=\sqrt{(p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(x+y+z)xyz}=1.
С другой стороны, если угол между сторонами, равными a
и c
, равен \beta
, то
S=\frac{1}{2}ac\sin\beta=\frac{1}{2}(x+y)(y+z)\sin\beta,
поэтому
(x+y)(y+z)=\frac{2S}{\sin\beta}=\frac{2}{\sin\beta}\geqslant2,
причём равенство достигается, когда, например, x=y=1
и z=\sqrt{2}-1
.
Второй способ. По неравенству Коши
\frac{(x+y)(y+z)}{2}=\frac{y(x+y)+z(x+y)}{2}=\frac{y(x+y+z)+z(x+y)-yz}{2}=
=\frac{y(x+y+z)+zx}{2}\geqslant\sqrt{xyz(x+y+z)}=1.
Следовательно, (x+y)(y+z)\geqslant2
, причём равенство достигается, когда, например, x=y=1
и z=\sqrt{2}-1
.