1608. В трапеции ABCD
большее основание AD=19
, боковая сторона AB=13
, а другая боковая сторона CD=12
и перпендикулярна основаниям. Биссектриса острого угла BAD
пересекает прямую DC
в точке M
. Определите, где лежит точка M
: на отрезке DC
или вне его?
Ответ. Вне.
Указание. Пусть K
— точка пересечения биссектрисы угла BAD
с прямой BC
. Сравните BK
и BC
.
Решение. Пусть P
— проекция вершины B
на основание AD
трапеции ABCD
. Из прямоугольного треугольника APB
находим, что
AP=\sqrt{AB^{2}-BP^{2}}=\sqrt{AB^{2}-CD^{2}}=\sqrt{169-144}=5.
Следовательно,
BC=PD=AD-AP=19-5=14.
Если K
— точка пересечения биссектрисы угла BAD
с прямой BC
, то
\angle BKA=\angle DAK=\angle BAK,
а треугольник ABK
— равнобедренный, поэтому BK=AB=13
и BK\lt BC
. Следовательно,точка M
лежит вне отрезка CD
.