16093. Каждая диагональ вписанного четырёхугольника ABCD
делит один угол четырёхугольника пополам, а противоположный угол — в отношении 1:2
. Найдите углы четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 72^{\circ}
, 72^{\circ}
, 108^{\circ}
, 108^{\circ}
или \frac{720^{\circ}}{7}
, \frac{720^{\circ}}{7}
, \frac{540^{\circ}}{7}
, \frac{540^{circ}}{7}
.
Решение. Пусть AC
и BD
— диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD
. Положим \angle BAC=\angle DAC=\alpha
. Тогда из вписанности четырёхугольника получаем
\angle CDB=\angle ADB=\alpha,
поэтому, дуги AB
, BC
и CD
описанной окружности четырёхугольника равны 2\alpha
, а дуга AD
, не содержащая вершину B
равна 360^{\circ}-6\alpha
.
С другой стороны, либо
\angle ACD=2\angle ACB=2\alpha,
либо
\angle ACD=\angle ABC=\frac{1}{2}\alpha,
поэтому соответствующая углу ACD
дуга AD
равна \alpha
.
В первом случае из равенства
4\alpha=360^{\circ}-6\alpha
находим, что \alpha=36^{\circ}
. Следовательно,
\angle ADC=\angle BAD=2\alpha=72^{\circ},~\angle BCD=\angle ABC=3\alpha=108^{\circ}.
Во втором случае из равенства
\alpha=360^{\circ}-6\alpha
находим, что \alpha=\frac{360^{\circ}}{7}
. Следовательно,
\angle ADC=\angle BAD=2\alpha=\frac{720^{\circ}}{7},~\angle BCD=\angle ABC=\frac{3}{2}\alpha=\frac{540^{\circ}}{7}.