16095. В треугольнике ABC
со сторонами BC=a
, CA=b
и AB=c
проведены медианы AA_{1}=m_{a}
, BB_{1}=m_{b}
и CC_{1}=m_{c}
. Докажите, что
m_{a}(bc-a^{2})+m_{b}(ca-b^{2})+m_{c}(ab-c^{2})\geqslant0.
Решение. Пусть G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Применив неравенство Птолемея к четырёхугольнику BA_{1}GC_{1}
(см. задачу 10938), получим
BG\cdot A_{1}C_{1}\leqslant BC_{1}\cdot GA_{1}+BA_{1}\cdot GC_{1}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{2}{3}m_{b}\cdot\frac{1}{2}b\leqslant\frac{c}{2}\cdot\frac{1}{3}m_{a}+\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{3}m_{c}~\Leftrightarrow~2bm_{b}\geqslant cm_{a}+am_{c}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~b^{2}m_{b}\geqslant\frac{1}{2}(abm_{c}+bcm_{a}).
Аналогично,
c^{2}m_{c}\geqslant\frac{1}{2}(bcm_{a}+acm_{b}),~a^{2}m_{a}\geqslant\frac{1}{2}(acm_{b}+abm_{c}).
Сложив эти три неравенства, получим
m_{a}(bc-a^{2})+m_{b}(ca-b^{2})+m_{c}(ab-c^{2})\geqslant0.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1995, № 6, задача 1904 (1994, с. 16, 89), с. 204