16097. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность \Gamma
. Точки A
и B
фиксированы, а точки C
и D
перемещаются по окружности \Gamma
, причём длина отрезка CD
постоянна. Точки X
и Y
перемещаются по лучам AC
и BC
соответственно, причём AX=AD
и BY=BD
. Докажите, что расстояние между X
и Y
постоянно.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
Из равенства вписанных углов DAC
и DBC
следует равенство углов DAX
и DBY
при вершинах равнобедренных треугольников DAX
и DBY
. Значит, эти треугольники подобны. Тогда \frac{DA}{DX}=\frac{BD}{DY}
, а так как
\angle ADB=\angle ADX-\angle BDX=\angle BDY-\angle BDX=\angle XDY,
то подобны треугольники DAB
и DXY
. Следовательно,
\frac{AD}{DX}=\frac{AB}{XY}~\Rightarrow~XY=AB\cdot\frac{DX}{AD}.
Поскольку CD
постоянно, то величина угла DAC
постоянна. Пусть \angle DAX=\theta
. Тогда из равнобедренного треугольника DAX
получаем
\frac{DX}{2AD}=\sin\frac{\theta}{2}~\Rightarrow~\frac{DX}{AD}=2\sin\frac{\theta}{2}.
Следовательно,
XY=AB\cdot\frac{DX}{DA}=2AB\cdot\sin\frac{\theta}{2},
т. е. величина XY
тоже постоянна. Что и требовалось доказать.
Аналогично для любого другого случая.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1995, № 9, задача 1993 (1994, с. 285), с. 308