16098. Хорда AD
вписанной окружности треугольника ABC
делит пополам угол BAC
. Известно, что AB=BC\sqrt{2}=AD\sqrt{2}
. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 30^{\circ}
, 15^{\circ}
, 135^{\circ}
.
Решение. Поскольку BC=AD
, четырёхугольник ABDC
— равнобедренная трапеция, причём либо AC=BD
, либо AB=CD
. Диагональ равнобедренной трапеции больше боковой стороны и AB=BC\sqrt{2}\gt BC
, поэтому второй случай невозможен (если AB=CD
, то боковая сторона AB
меньше диагонали BC
). Значит, AC=BD
.
Поскольку D
— середина дуги BC
, не содержащей точки A
, то BD=CD
. Обозначим AC=BD=CD=x
и BC=AD=a
. Тогда AB=a\sqrt{2}
. По теореме Птолемея получаем
AC\cdot BD+AB\cdot CD=AD\cdot BC,~\mbox{или}~a^{2}-ax\sqrt{2}-x^{2}=0,
откуда \frac{a}{x}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}
.
Обозначим \angle ABC=\alpha
. Тогда \angle CAB=2\alpha
. По теореме синусов из треугольника ABC
получаем
2\cos\alpha=\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{a}{x}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},
поэтому \cos\alpha=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
. Значит,
\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=\frac{8+4\sqrt{3}}{8}-1=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Следовательно,
\angle CAB=2\alpha=30^{\circ},~\angle ABC=\alpha=15^{\circ},~\angle BAC=135^{\circ}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1995, № 7, задача 1973 (1994, с. 226), с. 245