16102. Точка P
перемещается внутри данного треугольника ABC
. Лучи AP
, BP
и CP
пересекают стороны BC
, AC
и AB
в точках D
, E
и F
соответственно. Найдите геометрическое место точек P
, для которых сумма площадей треугольников PAF
, PBD
и PCE
равна половине площади треугольника ABC
.
Ответ. Искомое ГМТ состоит из медиан треугольника ABC
.
Решение. Обозначим через S
площадь данного треугольника ABC
. Пусть
\frac{AF}{AB}=\frac{1}{2}-x,~\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}-y,~\frac{CE}{CA}=\frac{1}{2}-z.
Тогда
\frac{AF}{FB}=\frac{\frac{1}{2}-x}{\frac{1}{2}+x},~\frac{BD}{DC}=\frac{\frac{1}{2}-y}{\frac{1}{2}+y},~\frac{CE}{EA}=\frac{\frac{1}{2}-z}{\frac{1}{2}+z},
а так как по теореме Чевы
1=\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=\frac{\frac{1}{2}-x}{\frac{1}{2}+x}\cdot\frac{\frac{1}{2}-y}{\frac{1}{2}+y}\cdot\frac{\frac{1}{2}-z}{\frac{1}{2}+z},
то
\left(\frac{1}{2}-x\right)\left(\frac{1}{2}-y\right)\left(\frac{1}{2}-z\right)=\left(\frac{1}{2}+x\right)\left(\frac{1}{2}+y\right)\left(\frac{1}{2}+z\right),
откуда
x+y+z=4xyz.
Заметим, что
S_{\triangle PBF}+S_{\triangle PDC}+S_{\triangle PAE}=\frac{1}{2}S=S_{\triangle PAF}+S_{\triangle PBD}+S_{\triangle PCE}=\frac{1}{2}S,
поэтому
\left(\frac{1}{2}-x\right)S=S_{\triangle ACF}=S_{\triangle PAF}+S_{\triangle PAE}+S_{\triangle PEC}=
=(S_{\triangle PAF}+S_{\triangle PEC})+S_{\triangle PAE}=\left(\frac{1}{2}S-S_{\triangle PBD}\right)+S_{\triangle PAE},
откуда
xS=S_{\triangle PBD}-S_{\triangle PAE}.
Аналогично,
yS=S_{\triangle PCE}-S_{\triangle PFB},~zS=S_{\triangle PAF}-S_{\triangle PDC}.
Тогда, сложив эти три равенства и учитывая, что x+y+z=4xyz
, получим
(x+y+z)S=(S_{\triangle PBD}-S_{\triangle PAE})+(S_{\triangle PCE}-S_{\triangle PFB})+(S_{\triangle PAF}-S_{\triangle PDC})=
=(S_{\triangle PBD}+S_{\triangle PCE}+S_{\triangle PAF})-(S_{\triangle PAE})+S_{\triangle PFB}+S_{\triangle PDC})=\frac{1}{2}S-\frac{1}{2}S=0,
а так как x+y+z=4xyz
, то xyz=0
. Значит, x=0
или y=0
или z=0
, поэтому по крайней мере одна из точек E
, D
и F
— середина стороны данного треугольника ABC
. Следовательно, искомое ГМТ состоит из медиан треугольника ABC
.