16103. Около описанного четырёхугольника ABCD
описана окружность \Gamma
, в которой проведён диаметр EF
, причём точки A
и E
лежат по одну сторону от прямой BD
. Диагональ BD
пересекает диагональ AC
в точке S
, а диаметр EF
— в точке M
. Докажите, что AS:SC=EM:MF
.
Решение. Четырёхугольник ABCD
описанный, поэтому суммы его противоположных сторон равны, т. е. AB+CD=BC+AD
, поэтому BC-CD=AB-AD
.
Четырёхугольник ABCD
вписанный, поэтому \angle BCD+\angle BAD=180^{\circ}
, и \sin\angle BCD=\sin\angle BAD
. Кроме того, по теореме косинусов
AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}=2AB\cdot AD\cos\angle BAD,
BC^{2}+BD^{2}-BD^{2}=2BC\cdot BD\cos\angle BCD.
Тогда
\frac{AS}{SC}=\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin\angle BAD}{\frac{1}{2}BC\cdot CD\sin\angle BCD}=\frac{AB\cdot AD\sin\angle BAD}{BC\cdot CD\sin\angle BCD}=\frac{AB\cdot AD}{BC\cdot CD}=
=\frac{AB\cdot AD((BC-CD)^{2}-BD^{2})}{BC\cdot CD((AB-AD)^{2}-BD^{2})}=\frac{\frac{BC^{2}+CD^{2}-BD^{2}-2BC\cdot CD}{2BC\cdot CD}}{\frac{AB^{2}+AD^{2}-BD^{2}-2AB\cdot AD}{2AB\cdot AD}}=
=\frac{2BC\cdot CD(\cos\angle BCD-1)}{2AB\cdot AD(\cos\angle BCD-1)}=\frac{\cos\angle BCD-1}{\cos\angle BAD-1}.
Поскольку окружность симметрична относительно любого своего диаметра, DE=BE
и DF=BF
. Значит,
DE+BF=BE+DF,
поэтому четырёхугольник BEDF
тоже описанный. Применив к нему те же рассуждения, что и к четырёхугольнику ABCD
, получим, что
\frac{EM}{MF}=\frac{\cos\angle BFD-1}{\cos\angle BED-1},
а так как \angle BFD=\angle BCD
и \angle BED=\angle BAD
, то \frac{EM}{MF}=\frac{AS}{SC}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1996, № 2, задача 2027 (1995, с. 90), с. 94