16105. Касательная в точке C
к окружности \Omega
, описанной около неравнобедренного треугольника ABC
, пересекает прямую AB
в точке D
. Через точку D
проведена прямая, пересекающая отрезки AC
и BC
в точках K
и L
соответственно. На отрезке AB
отметили точки M
и N
, для которых AC\parallel NL
и BC\parallel KM
. Пусть отрезки NL
и KM
пересеклись в точке P
, лежащей внутри треугольника ABC
. Прямая CP
второй раз пересекает окружность \omega
, описанную около треугольника MNP
, в точке Q
. Докажите, что прямая DQ
касается \omega
.
Решение. Из параллельностей AC\parallel NL
и BC\parallel KM
получаем, что
\frac{DN}{DA}=\frac{DL}{DK}=\frac{DB}{DM}~\Rightarrow~DM\cdot DN=DA\cdot DB,
т. е. равны степени точки D
относительно окружностей \omega
и \Omega
.
Пусть R
— точка пересечения прямой CD
и касательной, проведённой к окружности \omega
в точке Q
. Тогда
\angle RQP=\angle QMP=\angle QMN+\angle NMP=\angle QPN+\angle DBC=\angle CPL+\angle DCA=\angle RCQ,
поэтому RC=RQ
. Это означает, что точки R
и D
лежат на радикальной оси окружностей \Omega
и \omega
. Эта радикальная ось не может быть прямой RD
, иначе она проходила бы через точку C
, которая лежит на окружности \Omega
, но вне окружности \omega
. Значит, точки R
и D
совпадают. Следовательно, прямая DQ
касается окружности \omega
. Что и требовалось доказать.
Автор: Богданов И. И.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Международная Жаутыковская олимпиада (Казахстан). — 2023, XIX, первый день, задача 2