16106. Дан треугольник ABC
. Точки D
и E
лежат на лучах BC
и CA
соответственно, причём BD=CE=AB
. Прямая, l
проведённая через точку D
параллельно AB
, прямую BE
в точке M
, а прямые CM
и AB
пересекаются в точке F
. Докажите, что BA^{3}=AE\cdot BF\cdot CD
.
Решение. По теореме Менелая для треугольника ACF
и прямой BE
получаем
\frac{AB}{BF}\cdot\frac{FM}{MC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1,
а так как DM\parallel BF
, то
\frac{FM}{MC}=\frac{BD}{DC}.
Значит,
\frac{AB}{BF}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=-1.
Следовательно,
AE\cdot BF\cdot CD=-AB\cdot BD\cdot CE=BA\cdot AB\cdot AB=BA^{3}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1996, № 4, задача 2055 (1995, с. 202), с. 189