16107. Точка P
лежит внутри равностороннего треугольника ABC
, причём PB\ne PC
. Прямая BP
пересекает сторону AC
в точке E
, а прямая CP
пересекает сторону AB
в точке E
. Пусть PB:PC=AD:AE
. Найдите угол BPC
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Обозначим AE=x
, AD=y
, \angle PBC=\beta
, \angle PCB=\gamma
. Пусть сторона треугольника ABC
равна 1.
По теореме косинусов из треугольников ABD
и ACE
получаем
BD=\sqrt{1+y^{2}-y}~\mbox{и}~CE=\sqrt{1+x^{2}-x}.
По теореме синусов из треугольников BCD
, CEB
и BCP
получаем
\sin\beta=\frac{DC\sin60^{\circ}}{BD}=\frac{1-y}{\sqrt{1+y^{2}-y}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},
\sin\gamma=\frac{BE\sin60^{\circ}}{CE}=\frac{1-y}{\sqrt{1+x^{2}-x}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},
\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{PC}{PB}=\frac{AE}{AD}=\frac{x}{y}.
Значит,
\frac{y-y^{2}}{\sqrt{1+y^{2}-y}}=\frac{x-x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}-x}}.
Обозначим x-x^{2}=X
и y-y^{2}=Y
. Тогда \frac{X}{\sqrt{1-X}}=\frac{Y}{\sqrt{1-Y}}
.
Заметим, что 0\lt x\lt1
и 0\lt y\lt1
. Тогда
\frac{X}{\sqrt{1-X}}=\frac{Y}{\sqrt{1-Y}}~\Leftrightarrow~X^{2}(1-Y)=Y^{2}(1-X)~\Leftrightarrow~(X-Y)(XY-X-Y)=0,
Если XY-X-Y=0
, то (X-1)(Y-1)=1
, что невозможно, так как
0\lt x-x^{2}=x(1-x)\leqslant\left(\frac{x+(1-x)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}
и аналогично, 0\lt y-y^{2}\leqslant\frac{1}{4}
, т. е. 0\lt X\leqslant\frac{1}{4}
и 0\lt Y\leqslant\frac{1}{4}
. Значит,
X=Y~\Rightarrow~x-x^{2}=y-y^{2}~\Rightarrow~(y-x)(x+y-1)=0~\Rightarrow~y=1-x,
так как x\ne y
по условию задачи.
Треугольники ABD
и BCE
равны по двум сторонам (AB=BC=1
, AD=y=1-x=BE
) и углу между ними, поэтому \angle ABD=\angle BCE=\gamma
. Тогда
\gamma+\beta=\angle ABD+\angle CBD=60^{\circ}.
Следовательно,
\angle BPC=180^{\circ}-\gamma-\beta=120^{\circ}.