16109. Окружность, вписанная в четырёхугольник ABCD
, касается его сторон AB
, BC
, CD
и DA
в точках K
, L
, M
и N
соответственно, причём AK=a
, BL=b
, CM=c
и DN=d
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \sqrt{\frac{abc+bcd+cda+dab}{a+b+c+d}}
.
Решение. Пусть I
— центр окружности, r
— её радиус. Положим
\angle AIB=2\alpha,~\angle BIC=2\beta,~\angle CID=2\gamma,~\angle DIA=2\delta.
Прямоугольные треугольники AKI
и ANI
равны по катету (AK=AN
) и гипотенузе, поэтому
\angle AIK=\angle AIN=\alpha.
Тогда
\tg\alpha=\tg\angle AIK=\frac{AK}{IK}=\frac{a}{r}.
Аналогично,
\tg\beta=\frac{b}{r},~\tg\gamma=\frac{c}{r},~\tg\delta=\frac{d}{r}.
Из равенства
2\alpha+2\beta+2\gamma+2\delta=360^{\circ}
получаем
(\alpha+\beta)+(\gamma+\delta)=180^{\circ}~\Rightarrow~\tg(\alpha+\beta)+\tg(\gamma+\delta)=0~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}+\frac{\tg\gamma+\tg\delta}{1-\tg\gamma\tg\delta}=0~\Rightarrow~\frac{\frac{a}{r}+\frac{b}{r}}{1-\frac{ab}{r^{2}}}+\frac{\frac{c}{r}+\frac{d}{r}}{1-\frac{cd}{r^{2}}}=0~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{r(a+b)}{r^{2}-ab}+\frac{r(c+d)}{r^{2}-cd}=0~\Rightarrow~r^{2}=\frac{abc+bcd+cda+dab}{a+b+c+d}.
Следовательно,
r=\sqrt{\frac{abc+bcd+cda+dab}{a+b+c+d}}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1997, № 2, задача 5, с. 70