1611. В треугольнике ABC
известно, что \angle CAB=75^{\circ}
, \angle ABC=45^{\circ}
. На стороне CA
берётся точка K
, причём CK:AK=3
. На стороне CB
берётся точка M
. Найдите KM:AB
, если известно, что это отношение меньше \frac{3}{4}
и что прямая MK
отсекает от треугольника ABC
треугольник, ему подобный.
Ответ. \frac{3(\sqrt{3}-1)}{4}
.
Указание. Примените теорему синусов.
Решение. Заметим, что прямая KM
не может быть параллельной AB
, так как в этом случае \frac{KM}{AB}=\frac{CK}{AC}=\frac{3}{4}
, что невозможно по условию задачи. Следовательно,
\angle CKM=\angle CBA=45^{\circ},~\angle CMK=\angle CAB=75^{\circ}.
Обозначим AK=x
. Тогда CK=3x
, AC=4x
. По теореме синусов
\frac{AC}{\sin45^{\circ}}=\frac{AB}{\sin60^{\circ}}.
Отсюда следует,что AB=2x\sqrt{6}
. Аналогично из треугольника MKC
находим, что
KM=\frac{3x\sin60^{\circ}}{\sin75^{\circ}}=\frac{3x\sqrt{3}}{2\sin75^{\circ}}=\frac{3x\sqrt{3}\cdot2}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}=\frac{3x\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1}.
Следовательно,
\frac{KM}{AB}=\frac{3x\sqrt{6}}{(\sqrt{3}+1)\cdot2x\sqrt{6}}=\frac{3(\sqrt{3}-1)}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на биологический факультет МГУ. — 1969, № 3, вариант 4