16110. Касательная к вписанной окружности квадрата ABCD
пересекает его стороны AB
, AD
и диагональ AC
в точках P
, Q
и R
соответственно. Докажите, что
\frac{AP}{PB}+\frac{AR}{RC}+\frac{AQ}{QD}=1.
Решение. Пусть в системе координат xOy
уравнение вписанной в квадрат ABCD
с центром O
окружности имеет вид x^{2}+y^{2}=1
, координаты точек A
и C
— (1;1)
и (-1;-1)
соответственно, T(\cos t;\sin t)
— точка касания данной касательной с окружностью, 0^{\circ}\lt t\lt90^{\circ}
. Тогда уравнение касательной имеет вид (уравнение прямой в отрезках)
\frac{x}{\frac{1}{\cos t}}+\frac{y}{\frac{1}{\sin t}}=1~\Leftrightarrow~x\cos t+y\sin t=1,
а координаты точек P
, Q
и R
— \left(\frac{1-\cos t}{\sin t};1\right)
, \left(\frac{1-\sin t}{\cos t};1\right)
и \left(\frac{1}{\sin t+\cos t};\frac{1}{\sin t+\cos t}\right)
соответственно.
Обозначим \tg\frac{t}{2}=a
. Тогда
\frac{AP}{PB}=\frac{\sin t+\cos t-1}{\sin t-\cos t+1}=\frac{\frac{2a}{1+a^{2}}+\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}-1}{\frac{2a}{1+a^{2}}-\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}+1}=\frac{1-a}{1+a},
\frac{AR}{RC}=\frac{\sin t+\cos t-1}{\sin t+\cos t+1}=\frac{\frac{2a}{1+a^{2}}+\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}-1}{\frac{2a}{1+a^{2}}+\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}+1}=\frac{a(1-a)}{1+a},
\frac{AQ}{QD}=\frac{\cos t+\sin t-1}{\cos t-\sin t+1}=\frac{\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}+\frac{2a}{1+a^{2}}-1}{\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}-\frac{2a}{1+a^{2}}+1}=a.
Следовательно,
\frac{AP}{PB}+\frac{AR}{RC}+\frac{AQ}{QD}=\frac{1-a}{1+a}+\frac{a(1-a)}{1+a}+a=1.
Что и требовалось доказать.