16114. Окружность с центром I
вписана в треугольник ABC
с углами 2\alpha
, 2\beta
и 2\gamma
при вершинах A
, B
и C
соответственно и радиусом R
описанной окружности. Докажите, что CI=4R\sin\alpha\sin\beta
.
Решение. Пусть r
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, а M
— точка касания вписанной окружности со стороной BC
. Тогда
r=4R\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma,
(см. задачу 3225а).
Из прямоугольного треугольника CMI
получаем,
CI=\frac{OM}{\sin\angle MCI}=\frac{r}{\sin\gamma}=\frac{4R\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{\sin\gamma}=4R\sin\alpha\sin\beta.
Что и требовалось доказать.