16116. В остроугольном треугольнике проведены высоты AD
, BE
и CF
, а H
— точка их пересечения. Докажите, что
\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}=2.
Решение. Заметим, что
\frac{HD}{AD}=\frac{S_{\triangle BHC}}{S_{\triangle ABC}},~\frac{HE}{BE}=\frac{S_{\triangle AHC}}{S_{\triangle ABC}},~\frac{HF}{CF}=\frac{S_{\triangle AHB}}{S_{\triangle ABC}}.
Следовательно,
\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}=\frac{AD-HD}{AD}+\frac{BE-HE}{BE}+\frac{CF-HF}{CF}=
=\left(1-\frac{HD}{AD}\right)+\left(1-\frac{HE}{BE}\right)+\left(1-\frac{HF}{CF}\right)=3-\left(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\right)=
=3-\left(\frac{S_{\triangle BHC}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle AHC}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle AHB}}{S_{\triangle ABC}}\right)=3-\frac{S_{\triangle BHC}+S_{\triangle AHC}+S_{\triangle AHB}}{S_{\triangle ABC}}=
=3-\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}}=3-1=2.
Источник: Австралийские математические олимпиады. — 1993
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1997, № 6, задача 6, с. 324