16118. Боковые стороны AB
и AC
равнобедренного треугольника ABC
вдвое больше основания BC
. На боковых сторонах AB
и AC
отложены отрезки AP
и CQ
, равные четверти этих сторон.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ
в отношении 1:3
.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ
, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC
, если BC=4\sqrt{19}
.
Ответ. б) 3.
Решение. Пусть M
и N
— середины сторон AB
и AC
соответственно, а D
— середина отрезка AN
. Положим AP=QN=a
, BC=8b
.
Пусть F
— точка пересечения PQ
и MN
. Отрезок PD
— средняя линия треугольника AMN
, отрезок MN
— средняя линия треугольника ABC
, а отрезок FN
— средняя линия треугольника DPQ
, поэтому
FN=\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}BC=\frac{1}{8}\cdot8b=b.
Тогда
FM=MN-FN=4b-b=3b.
Следовательно,
\frac{FN}{FM}=\frac{b}{3b}=\frac{1}{3}.
Что и требовалось доказать.
б) Пусть вписанная окружность треугольника ABC
касается его основания BC
в точке H
. Тогда
CH=\frac{1}{2}BC=4b=CQ,
поэтому вписанная окружность треугольника ABC
касается боковой стороны AC
в точке Q
. Из симметрии эта окружность касается боковой стороны AB
в точке G
, для которой BG=4b
. Тогда PG=8b
, а из подобия треугольников AGQ
и ABC
получаем, что GQ=\frac{3}{4}BC=6b
.
Обозначим \angle ABC=\angle ACB=\beta
. Тогда
\cos\beta=\frac{BH}{AB}=\frac{4b}{16b}=\frac{1}{4}.
По теореме косинусов из треугольника PGQ
находим, что
PQ=\sqrt{64b^{2}+36b^{2}-2\cdot8b\cdot6b\cdot\frac{1}{4}}=2b\sqrt{19},
а так как по условию 8b=4\sqrt{19}
, то PQ=\sqrt{19}\cdot\sqrt{19}=19
.
Пусть прямая PQ
пересекает окружность в точке T
, отличной от Q
. Обозначим TQ=t
. По теореме о касательной и секущей
(8b)^{2}=PG^{2}=PQ\cdot PT=19(19-t),~\mbox{или}~16\cdot19=19(19-t),
откуда TQ=t=3
.