16120. Касательные в точках A
, B
и C
к описанной окружности треугольника ABC
пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в точках D
, E
и F
соответственно. Докажите, что точки D
, E
и F
лежат на одной прямой.
Решение. Обозначим PB=PC=a
, QA=QC=b
и RA=RB=c
.
Применив теорему Менелая к треугольникам PQR
прямым BC
, AC
и AB
, получим соответственно
-1=\frac{PB}{BR}\cdot\frac{RD}{DQ}\cdot\frac{QC}{CP}=\frac{QC}{BR}\cdot\frac{RD}{DQ},
-1=\frac{PE}{ER}\cdot\frac{RA}{AQ}\cdot\frac{QC}{CP}=\frac{PE}{ER}\cdot\frac{RA}{CP},
-1=\frac{PB}{BR}\cdot\frac{RA}{AQ}\cdot\frac{QF}{FP}=\frac{PB}{AQ}\cdot\frac{QF}{FP},
откуда
\frac{RD}{DQ}=-\frac{BR}{QC}=-\frac{c}{b},
\frac{PE}{ER}=\frac{CP}{RA}=-\frac{a}{c},
\frac{QF}{FP}=-\frac{AQ}{PB}=-\frac{b}{a}.
Тогда
\frac{PE}{ER}\cdot\frac{RD}{DQ}\cdot\frac{QF}{FP}=\left(-\frac{a}{c}\right)\cdot\left(-\frac{c}{b}\right)\cdot\left(-\frac{b}{a}\right)=-1.
Следовательно, по теореме Менелая точки D
, E
и F
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.