16127. Диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
; OK
, OL
, OM
и ON
— высоты треугольников AOB
, BOC
, COD
и AOD
соответственно. Докажите, что если OK=OM
и OL=ON
, то ABCD
— параллелограмм.
Решение. Обозначим OK=OM=h
, OA=b
, OB=b
, OC=c
, OD=d
и \angle AOB=\alpha
.
Выразив двумя способами площадь треугольника AOB
и применив теорему косинусов, получим
\frac{1}{2}AB\cdot h=\frac{1}{2}AB\sin\alpha~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{1}{h}=\frac{AB}{ab\sin\alpha}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha}}{ab\sin\alpha}=\frac{1}{\sin\alpha}\sqrt{\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}-2\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{a}\cdot\cos\alpha}.
Аналогично,
\frac{1}{h}=\sqrt{\frac{1}{d^{2}}+\frac{1}{c^{2}}-2\cdot\frac{1}{d}\cdot\frac{1}{c}\cdot\cos\alpha},
поэтому
\sqrt{\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{a^{2}}-2\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{a}\cdot\cos\alpha}=\sqrt{\frac{1}{d^{2}}+\frac{1}{c^{2}}-2\cdot\frac{1}{d}\cdot\frac{1}{c}\cdot\cos\alpha}.
Аналогично, учитывая, что
\sin(180^{\circ}-\alpha)=\sin\alpha~\mbox{и}~\cos(180^{\circ}-\alpha)=-\cos\alpha,
получим
\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{d^{2}}+2\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{d}\cdot\cos\alpha}=\sqrt{\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+2\cdot\frac{1}{b}\cdot\frac{1}{c}\cdot\cos\alpha}.
Рассмотрим теперь выпуклый четырёхугольник A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, диагонали которого пересекаются в точке O_{1}
, а
\angle A_{1}O_{1}B_{1}=\alpha,~O_{1}A_{1}=\frac{1}{a},~O_{1}B_{1}=\frac{1}{b},~O_{1}C_{1}=\frac{1}{c},~O_{1}D_{1}=\frac{1}{d}.
Из доказанных выше равенств следует, что противоположные стороны этого четырёхугольника попарно равны. Значит, это параллелограмм. Тогда его диагонали точкой пересечения делятся пополам, т. е.
\frac{1}{a}=\frac{1}{c},~\frac{1}{b}=\frac{1}{d},
откуда a=c
и b=d
. Следовательно, ABCD
— тоже параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1998, № 7, задача 2257 (1997, с. 300), с. 427