1613. В треугольнике ABC
точка K
на стороне AB
и точка M
на стороне AC
расположены так, что \frac{AK}{KB}=\frac{3}{2}
, а \frac{AM}{MC}=\frac{4}{5}
. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку K
параллельно стороне BC
, делит отрезок BM
.
Ответ. \frac{18}{7}
.
Указание. Проведите через вершину B
прямую, параллельную AC
.
Решение. Пусть F
— точка пересечения указанной прямой со стороной AC
, P
— точка пересечения BM
и KF
. Проведём через вершину B
прямую, параллельную AC
. Пусть T
— точка пересечения этой прямой с прямой KF
. Из теоремы о пропорциональных отрезках следует, что
\frac{FC}{AC}=\frac{BK}{AB}=\frac{2}{5},
поэтому FC=\frac{2}{5}AC
.
Поскольку TBCF
— параллелограмм, то TB=FC=\frac{2}{5}AC
. Из подобия треугольников TPB
и FPM
следует, что
\frac{BP}{PM}=\frac{TB}{MF}=\frac{TB}{MC-FC}=\frac{\frac{2}{5}AC}{\frac{5}{9}AC-\frac{2}{5}AC}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{45}}=\frac{18}{7}.