16131. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, D
— точка пересечения луча DI
с описанной окружностью треугольника ABC
, точки X
и Y
— проекции точки I
на прямые BD
и CD
соответственно. Найдите \angle BAC
, если IX+IY=\frac{1}{2}AD
.
Ответ. 30^{\circ}
или 150^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
.
По теореме о трилистнике (см. задачу 788) DI=DB
, а по теореме синусов \sin\beta=\frac{AC}{2R}
, поэтому
IY=DI\sin\angle ADC=DB\sin ABC=DB\cdot\frac{AC}{2R}=\frac{BD\cdot AC}{2R},
откуда
IY\cdot2R=BD\cdot AC.
Аналогично,
IX\cdot2R=CD\cdot AB.
По теореме Птолемея из вписанного четырёхугольника ABDC
получаем
AB\cdot CD+AC\cdot BD=BC\cdot AD,~\mbox{или}~IX\cdot2R+IY\cdot2R=2R\sin\alpha\cdot AD,
откуда
IX+IY=AD\sin\alpha.
По условию задачи
IX+IY=\frac{1}{2}AD,
поэтому \sin\alpha=\frac{1}{2}
. Следовательно, \alpha=30^{\circ}
или \alpha=150^{\circ}
.