16134. Дан треугольник ABC
, в котором \angle C=90^{\circ}+\angle B
, M
— середина стороны BC
. Окружность с центром A
и радиусом AM
вторично пересекает прямую BC
в точке D
. Докажите, что MD=AB
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
.
Пусть окружность с центром A
и радиусом AC
вторично пересекает прямую BC
в точке E
. Тогда
\angle AED=\angle ACB=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}
как внешние углы при вершинах E
и C
равнобедренного треугольника CAE
. Кроме того, AD=AM
и \angle ADE=\angle AMC
. Тогда \angle DAE=\angle MAC
, и треугольники ADE
и AMC
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, BM=CM=ED
, и поэтому MD=BE
.
Поскольку
\angle AEC=\angle ACE=90^{\circ}+\frac{\beta}{2},
то
\angle BAE=180^{\circ}-\beta-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2},
Треугольник ABE
равнобедренный, AB=BE
. Следовательно, MD=AB
. Что и требовалось доказать.